复数的加法与减法
教学目标
（1）掌握复数加法与减法运算法则，能熟练地进行加、减法运算；
（2）理解并掌握复数加法与减法的几何意义，会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题；
（3）能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题；
（4）通过 学习 平行四边形法则和三角形法，培养学生的数形结合的 数学 思想；
（5）通过本节内容的 学习 ，培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则，它是复数加减法运算的基础，对于这个规定的合理性，在 教学过程 中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法，以它为根据来解决某些平面图形的问题，学生对这一点不容易接受。
三、教学建议
（
1
）在复数的加法与减法中，重点是加法．教材首先规定了复数的加法法则．对于这个规定，应通过下面几个方面，使学生逐步理解这个规定的合理性：
①
当
时，与实数加法法则一致；
②
验证实数加法运算律在复数集中仍然成立；
③
符合向量加法的平行四边形法则．
（
2
）复数加法的向量运算讲解设
，画出向量
，
后，提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和向量（即合向量）
，画出向量
后，问与它对应的复数是什么，即求点
Z
的坐标
OR
与
RZ
（证法如教材所示）．
（
3
）向学生介绍复数加法的三角形法则．讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后，可以指出向量加法还可按三角形法则来进行：如教材中图
8
－
5
（
2
）所示，求
与
的和，可以看作是求
与
的和．这时先画出第一个向量
，再以
的终点为起点画出第二个向量
，那么，由第一个向量起点
O
指向第二个向量终点
Z
的向量
，就是这两个向量的和向量．
（
4
）向学生指出复数加法的三角形法则的好处．向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的：例如讲到当
与
在同一直线上时，求它们的和，用三角形法则来解释，可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些；讲复数减法的几何意义时，用三角形法则也较平行四边形法则更为方便．
（
5
）讲解了教材例
2
后，应强调
（注意：这里
是起点，
是终点）就是同复数
－
对应的向量．点
，
之间的距离
就是向量
的模，也就是复数
－
的模，即
．
例如，起点对应复数－ 1 、终点对应复数 的那个向量（如图），可用 来表示．因而点 与 （ ）点间的距离就是复数 的模，它等于 。
教学设计示例
复数的减法及其几何意义
教学目标
1 ．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．
2 ．渗透转化，数形结合等 数学 思想和方法，提高分析、解决问题能力．
3 ．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．
教学重点 和难点
重点：复数减法法则．
难点：对复数减法几何意义理解和应用．
教学过程 设计
（一）引入新课
上节课我们 学习 了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）
（二）复数减法
复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（ + i ） - （ + i ） = （ - ） + （ - ） i ，
1 ．复数减法法则
（ 1 ）规定：复数减法是加法逆运算；
（ 2 ）法则：（ + i ） - （ + i ） = （ - ） + （ - ） i （ ， ， ， ∈ R ）．
把（ + i ） - （ + i ）看成（ + i ） + （ -1 ）（ + i ）如何推导这个法则．
（ + i ） - （ + i ） = （ + i ） + （ -1 ）（ + i ） = （ + i ） + （ - - i ） = （ - ） + （ - ） i ．
推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算．
推导：设（ + i ） - （ + i ） = + i （ ， ∈ R ）．即复数 + i 为复数 + i 减去复数 + i 的差．由规定，得（ + i ） + （ + i ） = + i ，依据加法法则，得（ + ） + （ + ） i= + i ，依据复数相等定义，得
故（ + i ） - （ + i ） = （ - ） + （ - ） i ．这样推导每一步都有合理依据．
我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数．
复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（ + i ）±（ + i ） = （ ± ） + （ ± ） i ．
（三）复数减法几何意义
我们有了做复数减法的依据??复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？
设
z=
+
i
（
，
∈
R
），
z
1
=
+
i
（
，
∈
R
），对应向量分别为
，
如图
由于复数减法是加法的逆运算，设 z= （ - ） + （ - ） i ，所以 z-z 1 =z 2 ， z 2 +z 1 =z ，由复数加法几何意义，以 为一条对角线， 1 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 2 所表示的向量 OZ 2 就与复数 z-z 1 的差（ - ） + （ - ） i 对应，如图．
在这个平行四边形中与 z-z 1 差对应的向量是只有向量 2 吗？
还有 ． 因为 OZ 2 Z 1 Z ，所以向量 ，也与 z-z 1 差对应．向量 是以 Z 1 为起点， Z 为终点的向量．
能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差 z-z 1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．
（四）应用举例
在直角坐标系中标 Z 1 （ -2 ， 5 ），连接 OZ 1 ，向量 1 与多数 z 1 对应，标点 Z 2 （ 3 ， 2 ）， Z 2 关于 x 轴对称点 Z 2 （ 3 ， -2 ），向量 2 与复数 对应，连接 ，向量 与 的差对应（如 图）．
例 2 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．
解：设复平面内的任意两点 Z 1 ， Z 2 分别表示复数 z 1 ， z 2 ，那么 Z 1 Z 2 就是复数 对应的向量，点 之间的距离就是向量 的模， 即复数 z 2 -z 1 的模．如果用 d 表示点 Z 1 ， Z 2 之间的距离，那么 d=|z 2 -z 1 | ．
例 3 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点 Z 的轨迹是什么．
（ 1 ） |z-1-i|=|z+2+i| ；
方程左式可以看成 |z- （ 1+i ） | ，是复数 Z 与复数 1+i 差的模．
几何意义是是动点 Z 与定点（ 1 ， 1 ）间的距离．方程右式也可以写成 |z- （ -2-i ） | ，是复数 z 与复数 -2-i 差的模，也就是动点 Z 与定点（ -2 ， -1 ）间距离．这个方程表示的是到两点（ +1 ， 1 ），（ -2 ， -1 ）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（ +1 ， 1 ），（ -2 ， -1 ）为端点的线段的垂直平分线．
（ 2 ） |z+i|+|z-i|=4 ；
方程可以看成 |z- （ -i ） |+|z-i|=4 ，表示的是到两个定点（ 0 ， -1 ）和（ 0 ， 1 ）距离和等于 4 的动点轨迹．满足方程的动点轨迹是椭圆．
（ 3 ） |z+2|-|z-2|=1 ．
这个方程可以写成 |z- （ -2 ） |-|z-2|=1 ，所以表示到两个定点（ -2 ， 0 ），（ 2 ， 0 ）距离差等于 1 的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．是双曲线右支．
由 z 1 -z 2 几何意义，将 z 1 -z 2 取模得到复平面内两点间距离公式 d=|z1-z2| ，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．
例 4 设动点 Z 与复数 z= + i 对应，定点 P 与复数 p= + i 对应．求
（ 1 ）复平面内圆的方程；
解：设定点 P 为圆心， r 为半径，如图
由圆的定义，得复平面内圆的方程 |z-p|=r ．
（ 2 ）复平面内满足不等式 |z-p| ＜ r （ r ∈ R + ）的点 Z 的集合是什么图形？
解：复平面内满足不等式 |z-p| ＜ r （ r ∈ R + ）的点的集合是以 P 为圆心， r 为半径的圆面部分（不包括周界）．利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．
（五）小结
我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．
（六）布置作业 P193 习题二十七： 2 ， 3 ， 8 ， 9 ．
探究活动
复数等式的几何意义
复数等式 在复平面上表示以 为圆心，以 1 为半径的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几何意义。
分析与解
1． 复数等式 在复平面上表示线段 的中垂线。
2． 复数等式 在复平面上表示一个椭圆。
3． 复数等式 在复平面上表示一条线段。
4． 复数等式 在复平面上表示双曲线的一支。
5． 复数等式 在复平面上表示原点为 O 、 构成一个矩形。
说明 复数与复平面上的点有一一对应的关系，如果我们对复数的代数形式工（几何意义）之
间的关系比较熟悉的话，必然会强化对复数知识的掌握。